Az OpenAI egyik modellje bebizonyította a „kvázi-Riemann-sejtést”, és most már emberi matematikusok is úgy látják, hogy a bizonyítás nagy valószínűséggel helyes. Az eredményt az OpenAI a GitHubon tette közzé október 6-án, 377 másik eredménnyel együtt. A Quanta Magazine számelméleti szakértőket kérdezett meg arról, mit ér a bizonyítás. Jared Duker Lichtman, a Stanford Egyetem matematikusa szerint ez „messze a legjelentősebb AI-matematikai eredmény eddig”.
Mit mond a Riemann-sejtés, és mi a „kvázi” változat?
A Riemann-sejtés a matematika talán legnagyobb nyitott kérdése: több mint 160 éve megoldatlan, és a hét Millennium-probléma egyike. A Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeiről szól, ezek pedig azt írják le, hogyan ritkulnak a prímszámok a számegyenesen. A sejtés szerint minden úgynevezett nemtriviális zérushely egyetlen függőleges egyenesen fekszik, ahol a valós rész pontosan 1/2. Ma annyi biztos, hogy ezek a zérushelyek a 0 és 1 közötti sávban vannak. Az első 12 billió zérushelyről számítógéppel igazolták, hogy az 1/2-es egyenesen van, de ez nem bizonyítás.
A kvázi-Riemann-sejtés ennél szerényebb: azt kell belátni, hogy minden nemtriviális zérushely egy a 0 és 1 közöttinél keskenyebb sávban van. Minél szűkebb ez a sáv, annál pontosabban lehet tudni, hogyan oszlanak el a prímszámok. Maksym Radziwiłł, a New York-i Egyetem matematikusa szerint a következmények „lenyűgözőek”: „Bizonyos értelemben a Riemann-sejtés következményeinek túlnyomó része már a kvázi-változatból is következik.”
Két bizonyítás, egy 199 oldalas és egy 49 oldalas
Az OpenAI két változatot adott ki. A szeptember 30-i szerint a zérushelyek 1/8 és 7/8 között vannak. Ezt a Lean nevű bizonyításellenőrző programmal formálisan is igazolták, de 199 oldal hosszú. A majdnem egy héttel későbbi második változat gyengébb állítást bizonyít (1/12 és 11/12 közötti sáv), és még nincs formálisan ellenőrizve, viszont csak 49 oldal. A matematikusok ezért főleg ezzel foglalkoznak. Radziwiłł szerint mindkét anyag „borzalmasan van megírva”, olyan módon, hogy bármelyik matematikai folyóirat azonnal visszautasítaná.
A Quanta szerint az október 6-án közzétett 722 OpenAI-dokumentum közül egyedül a 11/12-es cikket szerkesztette ember. Az OpenAI nem árulta el, ki volt az, csak annyit közölt: „A cikk mindenki munkájának eredménye az OpenAI-nál.”
Régi eszközök, váratlan párosítás
A szakértők szerint a bizonyítás nem új fogalmakra épül, hanem régóta ismert ötleteket kapcsol össze. Peter Sarnak, a Princeton számelmélésze évtizedek óta azt javasolja, hogy a zéta-függvényt egy tágabb függvénycsalád tagjaként kell vizsgálni. A modell egy eddig figyelmen kívül hagyott családot talált meg. Ehhez az úgynevezett metaplektikus formák kellettek, amelyekkel a Georgia Tech kutatója, Alexander Dunn öt éve foglalkozik. „Erre senki sem számított” – mondta Dunn. A bizonyítás egyik kulcsa ráadásul egy képlet, amelyet Dunn és Radziwiłł 2021-ben bizonyított.
Radziwiłł ma már fél oldalon fel tudja vázolni a bizonyítás menetét. Más matematikusok 7–13 oldalas összefoglalói egyelőre csak magánkörben terjednek. Sarnak ennek a félévnek az egyik kurzusát a bizonyítás feldolgozására állította át. Közben óvatos: addig nem tekinti „tételnek”, amíg emberek minden részletét át nem nézték és meg nem értették.
A teljes Riemann-sejtéshez a szakértők szerint ez az eredmény nem visz feltétlenül közelebb. Will Sawin (Princeton) úgy véli, hogy miután a módszereket feldolgozták, a teljes sejtés valószínűleg ugyanolyan távolinak tűnik majd, mint korábban, „de ebben nem vagyok biztos”. Thomas Bloom (Manchesteri Egyetem) szerint: „Néhány hete a kvázi-Riemann-sejtésről is ugyanezt mondtuk volna. Ezen a ponton már semmi sem lepne meg.”
Az OpenAI modelljei nemrég a fizikában is feltűntek: a GPT-6-Astra 50 kutatási szintű elméleti fizikai feladatból 49-et megoldott. A kriptográfiában pedig a Claude fél óra alatt fejtette meg a NIST-görbék 25 éves rejtélyét.
